量子态不可克隆定理不成立的证明

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  —— 量子通讯无条件保密的物理学基础不趋于稳定 ——  

 梅晓春1       李小坚2  

(1)福州原创物理研究所                  (2)北方工业大学自动化系

  内容摘要 量子通信被认为具有绝对的保密性,它的物理学基础是“量子态不可好友克隆定理”。本文证明这种 定理不成立,理由如下。1. 该定理假设任意量子态回会能也能 好友克隆的,证明那我量子态可好友克隆的条件为,实际上认为量子态能也能 好友克隆,“量子态不可好友克隆定理”名不符我我实在。本文进一步证明,趋于稳定无穷多的满足这种 一一有3个 条件,时候 “量子态不可好友克隆定理”应当改为“量子态可好友克隆定理”。2.表示一一有3个 正交的量子态能也能 好友克隆,对于的非正交态的状况,现有理论没有讨论,本文删改讨论这种 状况。3. 考虑量子力学波函数的完备性,非正交态能也能 按照厄密算符的本征态展开,本文证明对于任意本征态数的量子态,总能也能 找到无穷多个非正交的波函数,使它们满足可好友克隆的条件。4. 量子好友克隆算符对波函数叠加态作用,会导致 自相矛盾的结果。本文证明,其根源在于量子好友克隆算符的定义是自相矛盾的。它不改变任意波函数的形式,却能也能 将纯态波函数变加带任意波函数,那我的算符不导致 趋于稳定。5. 量子态好友克隆的真正问題没了于理论上与否也能好友克隆,而在于好友克隆过程中线性叠加态不可输入和不可输出,这种 不导致 性与“量子态不可好友克隆定理”的证明无关。6. 少量实验证明,微观粒子的单量子态回会能也能 好友克隆的,说量子态不可好友克隆毫无道理。7.在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方输入和输出的回会光子的单个偏振态,它们回会能也能 好友克隆的。由此本文的结论是,“量子态不可好友克隆定理”是一一有3个 概念含糊、矛盾重重、删改错误的命题。建立在这种 定理的基础上,量子通讯所谓的无条件保密性根本不趋于稳定。

  关键词 量子力学,量子通讯,好友克隆算符,量子态不可好友克隆定理,BB84协议

  一. 量子通讯与“量子态不可好友克隆定理”

  量子通信被认为具有绝对的保密性,其物理学基础是所谓的“量子态不可好友克隆定理”。Wootters和Zurek 1982年在《Nature》上发表文章,提出这种 著名的定理【1】。然而仔细考察该定理的证明过程和结论,作者发现趋于稳定这种 问題。“量子态不可好友克隆定理”实际上不成立,量子通信的绝对保密性的物理学基础是不趋于稳定的。

  从“量子态不可好友克隆定理”的证明过程能也能 看出,该定理的前提是假定任意量子态都能也能 好友克隆。时候 给出另外一一有3个 量子态能也能 好友克隆的条件为,不满足这种 一有3个 条件的态才是不可好友克隆的。代表一一有3个 态正交,表示一一有3个 态不正交,它们回会能也能 好友克隆的。时候 “量子态不可好友克隆定理”名不符我我实在!本文进一步证明,按照Wootters和Zurek的好友克隆算符定义,对于任意量子态,趋于稳定无穷多的满足的条件。对于的状况,现有理论认为它导致 ,是一一有3个 平庸解,没有讨论价值。本文指出之统统一定导致 ,并对这种 状况进行删改讨论。考虑量子力学厄密算符本征函数的完备性,任意定态波函数都能也能 表示为厄密算符本征态波函数的叠加。本文证明对于叠加态数目的波函数,总能也能 找到无穷多个与不正交的,使它们满足的可好友克隆条件。时候 “量子态不可好友克隆定理”实际上应当改成“量子态不可好友克隆定理”。

  这种 文献又把该定理称为“未知量子态不可好友克隆定理”,然而对哪些是未知的量子态,却没有明确的说明【2】。事实上,“未知量子态不可好友克隆定理”的说法在字面上时候 有问題的,导致 一一有3个 量子态是未知的,告诉我原型和模板,又为何会 也能好友克隆呢?比如对于叠加态,导致 已知,这种 态就已知。导致 任意,这种 态就未知。要好友克隆这种 态首先需要知道。这是先决条件,未知态不可好友克隆的说法毫无意义。事实上如本文证明,按照Wootters对好友克隆算符的定义,即使未知,仍时候 能 找到无穷多的,使之满足的条件,时候 “未知量子态不可好友克隆定理”的说法也是不成立的。

  将量子好友克隆算符对波函数叠加态作用,会导致 自相矛盾的结果。本文指出其根源在于量子好友克隆算符的定义是自相矛盾的。将量子态好友克隆算符作用在任意波函数上,其形式不变。将这种 算符作用在一一有3个 纯态上,却能也能 将它变成任意波函数,那我的算符是不趋于稳定的。事实上量子好友克隆算符时候 一一有3个 抽象符号,没有具体形式。导致 其定义是自相矛盾的,在数学上根本不导致 找到它的具体形式。而在量子力学中,任何算符都需要有它的具体形式。

  事实上,量子态好友克隆的真正问題没了于理论上与否也能好友克隆,而在于好友克隆过程如保输入和输出线性叠加态。按照量子力学的测量理论,测量导致 波函数崩塌。量子态好友克隆过程首先需要输入量子态,而输入过程也能也能 看成本身生活测量操作。时候 量子叠加态是不可输入的,导致 一旦进行操作,叠加态就会被破坏。在这种 意义上,谈论线性叠加态的好友克隆是没有意义,但它与“量子态不可好友克隆定理”的证明无关。

  在实验方面,“量子态不可好友克隆定理”显然与事实不符。少量实验证明,微观粒子的单量子态回会能也能 好友克隆的。激光器不但也能好友克隆单个光子,时候 也能大批量地好友克隆各种光子。连续光谱激光器不但能也能 好友克隆本身生活单光子,时候 能也能 通过调整参数,来少量好友克隆各种各样的光子。在物理学中,量子态的制备早就导致 是一一有3个 相当成熟 是什么是什么的句子图片 是什么期是什么图片 图片 图片 图片 图片 的学科。

  在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方每次输入和输出的回会光子的单个偏振态,而回会所谓的线性叠加态,它们回会能也能 好友克隆的。然而“量子态不可好友克隆定理”给人的一般印象却是,任何量子态回会可好友克隆,这是不真实的。

  实际量子态的好友克隆涉及相互作用,是一一有3个 非常多样化的过程,回会用Wootters定义的这种 简单算符就能表示的。“量子态不可好友克隆定理”是一一有3个 概念含糊、矛盾重重、删改错误的命题,不但毫无意义,时候 严重误导物理学理论和量子技术的发展。

  时候 本文的结论是,“量子态不可好友克隆定理”不成立,量子通讯所谓的具与否条件保密性的物理学基础不趋于稳定。

  二.“量子态不可好友克隆定理”的证明

  “量子态不可好友克隆定理”的证明我我实在非常简单,以下介绍P. Yuen 和 M. D′Ariano 的推广证明【2】。 假设作为待好友克隆模板的粒子趋于稳定任意态,另外一一有3个 粒子趋于稳定标准的纯态。Wootters和Zurek引入一一有3个 好友克隆量子态的幺正算符,它对的作用是:

至于的具体形式如保,Wootters没有说明,也能也能根据具体的状况选用。与图片复印的过程比较,算符离米 复印机,离米 要复印的图片,离米 白纸。

  采用相同的纯态,将好友克隆算符对另外一一有3个 任意态作用,按照(1)式回会:

将(2)和(3)式的两边取内积,得:

考虑到,从上式得到:

(4)式有一一有3个 解,。导致 这种 一有3个 条件满足,就能也能 好友克隆。导致 不满足,就不可好友克隆。现有理论讨论了的状况,对的状况没有讨论,本文重点对的状况进行讨论。

  以上证明的前提是,假定任意量子态能也能 好友克隆。即趋于稳定一一有3个 算符,能也能 把纯态变成态,时候 讨论在哪些状况下能也能 好友克隆的问題。导致 正交态是能也能 好友克隆的,用通俗的语言说,假设有一台量子好友克隆机,它也能好友克隆 态,就一定也能好友克隆与态正交的态,但也能也能好友克隆与不正交一起又有的态。

  时候 按照这种 证明,量子态回会也能也能 好友克隆,时候 有选用性地好友克隆。对于不同的量子态,需要不同的好友克隆机,亲们能也能 制造不同的好友克隆机,来好友克隆不同的量子态。时候 所谓的“量子态不可好友克隆定理”名不符我我实在,实际上应当改成“通用量子态好友克隆机不趋于稳定定理”。

  三.“量子态不可好友克隆定理”不成立的证明

  3. 1 量子态好友克隆算符在数学上不成立

  按照(2)式的定义,好友克隆算符对波函数的作用满足以下关系:

这导致 不改变任意波函数,即,但却能也能 将纯态波函数变成,即导致 是不变算符,即。导致 也是任意的,与能也能 删改不一样,导致 回会不变算符,应当将写为:

导致 ,回会,时候 量子好友克隆算符的定义自相矛盾,是不导致 趋于稳定的。

  亲们能也能 举一一有3个 具体的例子。假设要好友克隆氢原子的第一激发态,一一有3个 合理的做法时候 ,把氢原子的基态波函数看成是纯态,即令。它们的具体形式是:

导致 式正交的,按照(2)的定义,是能也能 好友克隆的,好友克隆过程是:

显然不导致 找到一一有3个 算符,能使 一起成立,时候 (8)式不导致 成立。

  事实上,量子力学波函数的数学形式都比较多样化。要将一一有3个 纯态波函数变成另外一一有3个 波函数保持不变,又能也能 将任意纯态波函数变成态波函数。在这种 算符基础上证明“量子态不可好友克隆定理”是没有意义的。

  3. 2 量子态好友克隆算符在物理上不成立的例子

  一般而言,(1)式在物理上也导致 不成立。举一一有3个 简单例子,氢原子的跃迁过程满足这种 禁戒规则,比如角量子数和磁量子数需要满足。时候 从基态到诸如的激发态是不导致 的。然而是正交的,按照(4)式,令的态是能也能 好友克隆的。

  事实上,量子态的好友克隆是一一有3个 非常多样化的问題,根本不导致 通过(1)式那样简单定义,以及(4)式那样简单的结果就能判断的。建立在Wootters定义的好友克隆算符的基础上的,所谓的“量子态不可好友克隆定理”毫无意义。

  3. 2 趋于稳定无穷多的可好友克隆非正交态

  以下证明对于,仍时候 能 有。按照(4)式,这种 非正交态仍时候 能 好友克隆。量子力学用厄密算符代表力学量,将它作用于波函数的某个定态,得到:

常数被称为本征值。量子力学厄密算符有以下一一有3个 基本性质【3】:

  1. 厄密算符具有选用本征值的本征函数趋于稳定正交性。设对应的本征值互不相等,则有

  2. 厄密算符本征函数具有完备性。数学可不可不可否也能 严格证明,任意量子力学定态波函数都能也能 表示为厄密算符本征态波函数的叠加,即:

  按照以上一一有3个 性质,亲们来重新讨论“量子态不可好友克隆定理”的证明。将系统的任意一一有3个 波函数写成为:



 

考虑到波函数的归一化,展开系数满足条件:

将(12)式代入(4)式,得:

导致 ,(13)式变成:

要使(14)式成立,需要:

或:

(15)式表示正交,(16)式表示不正交。比如时,考虑到系数导致 是复数,(15)实际上应当写成:

假设已知,则已知。上式剩余一一有3个 方程,有一一有3个 未知数,唯一选用。解方程得。时候 对于的状况,对于任意波函数,总能也能 找到另外一一有3个 波函数与它正交。按照Wootters对好友克隆算符的定义,它们回会能也能 好友克隆的。

  对于的状况,(15)式变为:

假设已知,则已知。上式剩余一一有3个 方程,选用一一有3个 未知数,回会无穷多种土办法。也时候 说对于,能也能 与否穷多个与之正交,因而通用量子态好友克隆机趋于稳定。

  对于不正交,的状况,时,(14)式变成:

假设已知,已知。从剩余的一一有3个 方程解得,时候 也能也能才导致 。导致 这种 态能也能 好友克隆,但一台好友克隆机也能也能好友克隆一一有3个 量子态。

  对的状况,比如,(18)式变成:

假设已知,,则已知。上式剩余的一一有3个 方程,选用一一有3个 未知数,原则上与否穷多个解。导致 它们都也能满足(4)和(16)式,按照定义回会能也能 好友克隆的。

  以下举一一有3个 具体例子,比如,从第一一有3个 式子得到。选用,按照(20)式,可得以下波函数:

这种 一有3个 波函数是非正交的,但仍然满足可好友克隆条件,能也能 用同一台好友克隆机好友克隆。

  任意选用的值,能也能 得到任意多个,都能满足(16)式。由此证明在的状况下,“量子态不可好友克隆定理”不成立。亲们总能也能 找到无穷多的,使它们满足可好友克隆的条件。

  3. 3 好友克隆算符作用于线性叠加态导致 矛盾

  按照Wootters的证明,线性叠加态是能也能 好友克隆的。在(4)式的导出过程中,能也能 是单态,也能也能 是叠加态。然而对于叠加态,按照(1)式的定义会产生矛盾。以叠加态为例,将好友克隆算符作用其上,能也能 得到本身生活结果。第本身生活是好友克隆算符先对单个态作用,即:

第二种好友克隆算符只对整个叠加态作用,即:

(23)和(24)式相互矛盾。文献【4】认为(23)式是能也能 实现的,理由是基矢能也能 好友克隆的。(24)式则是不可实现,但没有说明导致 。

  这种 看法我实在特别道理,但没有找到问題的本质。导致 按照好友克隆算符的定义,以上本身生活计算土办法回会合理的。亲们也能也能说哪本身生活对哪本身生活错,从逻辑上也能也能 认为(24)式没有错。事实上,(11)、(21)和(22)式回会叠加态,按照前文对(4)式的讨论,它们回会能也能 好友克隆的。

  以下来讨论(24)式不导致 成立的导致 。能也能 将(24)式看成好友克隆算符作用在波函数上得到的新的波函数,令:

考虑到波函数是不可测量的,也能测量的是波函数的平方,回会:

可见按照(24)式,新的波函数的归一性被破坏。然而按照量子力学,对波函数进行变换是不导致 改变归一性的。事实上将(23)式进行同样的变换,新的波函数归一性仍然趋于稳定。产生问題的本质导致 在于,如前文所述,好友克隆算符的定义(1)式本身生活时候 矛盾的。这种 矛盾必然要在具体过程中体现出来,对波函数叠加态的作用时候 一一有3个 例子。

  四.波函数的线性叠加态不可输入和不可输出

  讨论线性叠加态的好友克隆问題,需要先了解线性叠加态的真内外部理意义。量子力科人学一一有3个 统计理论,对于叠加态,量子力学的几率统计解释认为,叠加态由一一有3个 态组成,再次出现的几率是态再次出现的几率是。它之统统导致 一一有3个 态能也能 一起再次出现,时候 认为在任意时刻只再次出现其中的一一有3个 态。

  比如对于氢原子中的一一有3个 电子,它不导致 一起即趋于稳定基态,又趋于稳定第一激发态。这种 一有3个 状况趋于稳定能量差,从基态进入激发态是需也能量输入的。亲们不导致 一起好友克隆氢原子的这种 一有3个 态,也能也能好友克隆其中的一一有3个 态。在这种 意义上,谈论线性叠加态的好友克隆本身生活时候 没有意义的。

  导致 按照量子力学的哥本哈根解释,即所谓的量子力学测量理论,对线性叠加态(8)进行测量,会使波函数崩塌到其中的一一有3个 态。比如对于叠加态,任何单次测量也能也能得到其中的一一有3个 态,不导致 一起得到一一有3个 态,这与量子力学的统计解释结果是一样的。

  时候 量子态好友克隆真正的问題在于,波函数的线性叠加态即无法输入也无法输出。从实际操作的厚度,为了也能好友克隆一一有3个 量子叠加态,首先需要进行测量,以了解这种 态的状况。好友克隆过程需要输入和输出量子态,而输入和输出也能也能 看成是本身生活测量。导致 测量导致 叠加态的崩塌,量子叠加态的输入和输出自然是不导致 的。

  在实际的过程中,量子态的好友克隆涉及多样化的相互作用,回会用(1)式那样简单的算符就能表示。所谓的“量子态不可好友克隆定理”趋于稳定不多的问題,实际上不成立。考虑到单个量子态实际上回会能也能 用好友克隆的,亲们应当说:

  量子力学定态波函数(8)式中,任何具有选用本征值的单态回会可好友克隆的。对量子定态波函数的叠加态,每一次好友克隆将得到其中的一一有3个 单态,多次好友克隆结果得到态的几率为

  也能也能那我理解,也能与量子力学的统计性质和实际物理过程一致。

  五.结论:哥本哈根解释误导量子技术

  Wootters的定义好友克隆算符本身生活时候 自相矛盾的。将好友克隆算符作用在任意波函数上,该波函数变成不变。作用在任意纯态波函数上,却能也能 将变成任意。这种 自相矛盾的算符在数学上是不导致 趋于稳定的,导致 “量子态不可好友克隆定理”成为一一有3个 含糊不清,充满矛盾和错误的命题。

  按照Wootters对好友克隆算符的定义,满足的量子态回会能也能 好友克隆的。而在实际的过程中,满足这种 一有3个 条件的量子态却之统统也能好友克隆。时候 “量子态不可好友克隆定理”不趋于稳定。

  导致 考虑量子力学波函数的完备性,任意波函数都能写成本征态波函数的叠加。对于本征态数的任意量子力学波函数,总能也能 找到一一有3个 波函数与它正交。对于的任意量子力学波函数,除了能也能 找到无数的波函数与它正交外,还能也能 找到无数个波函数,使它们的积分满足。时候 “量子态不可好友克隆定理”实际上应当称为“量子态可好友克隆定理”。

  将好友克隆算符作用到量子叠加态,会导致 矛盾的结果。这之统统导致 叠加态不可好友克隆,时候 好友克隆算符的定义本身生活有问題。量子态好友克隆的真正问題在于,叠加态的输入和输出是不导致 的,这种 不导致 性与Wootters的证明无关。

  在本文初稿完成后,作者看多中科院理论所孙昌璞院士的一篇文章,题目为“量子力学的诠释问題”【5】。该文文摘中说:“对于量子力学的诠释…亲们迄今为止并未形成共识。量子力学发展的这种 二元状况不仅带来认识论方面的误导,时候 土办法备受争议的哥本哈根诠释建立的量子技术会有相对根本性的问題”,物理学家需要“通过进一步澄清量子力学诠释中的基本概念,补救量子观念的滥用导致 的认识论上的问題和量子技术误入歧途”。

  作者非常认同孙昌璞先生的这种 看法。早期的量子力学哥本哈根解释纯粹是一一有3个 科学哲学问題,但现在它导致 回会纯理论问題。它导致 越界进入技术领域,时候 深入地影响到量子技术,严重地误导了量子技术的发展和应用。从对贝尔不等式的实验检验,到量子通信和量子计算机,到处都能也能 看多哥本哈根解释的误导带来的恶果。

  哥本哈根解释一一有3个 奇怪的说法,即一一有3个 量子态在没有被测量前一天亲们对它哪些时候 能说。它是趋于稳定叠加态,而回会选用态。波尔有句名言:一一有3个 问題在没有被观察前一天也能也能说是一一有3个 问題。具体地说,对于一一有3个 自旋为的粒子,在没有进行测量前一天,也能也能说它的自旋为。导致 按照波函数的叠加公式,它或许导致 趋于稳定态。再比如对于一一有3个 水平偏振的光子,在没有被测量前一天,亲们也能也能说它是水平偏振的,导致 按照波函数的线性叠加公式,它导致 是垂直偏振。这种 看法与实际删改不符,它导致 破坏物理守恒规律,导致 荒诞的结果。

  比如甲向乙发射一一有3个 自旋为粒子,乙方接受到的一定是一一有3个 自旋为的粒子。导致 角动量守恒,粒子的自旋在运动过程中是不导致 改变的。同样,甲向乙发射一一有3个 水平偏振的光子,导致 乙用水平偏振器测量,这种 光子回会通过,说明这种 光子的偏振在运动过程中没有改变。导致 是光的偏振方向时候 电场振动方向,光在真空中的传播时电场的方向不多改变。导致 用非水平偏振器来测量,光子以一定的概率通过。导致 是偏振器使光子的电场方向改变,而回会该光子没有选用的偏振。

  按照量子力学的统计系综解释,波函数是少量粒子的统计平均结果。比如代表量子系综,代表系综里的一一有3个 系统。在任意时刻,量子体系要么趋于稳定态,要么趋于稳定状况,不导致 即趋于稳定状况又趋于稳定状况,时候 导致 一起趋于稳定态。时候 这种 种生活解释是等价的,时候 说法不同罢了。按照系综理论,谈论量子力学线性叠加态的好友克隆也是没有意义。

  事实上,量子通讯中光子的发射方发射的回会单量子态,不导致 是叠加态。接收方接收到的也是单量子态,不导致 是叠加态。“量子态不可好友克隆定理”是一一有3个 删改不靠谱的理论,它把好友克隆过程用一一有3个 没有简单的算符来描述,不涉及任何相互作用,与实际过程删改不符。在真实的物理学中,要好友克隆一一有3个 量子态涉及多样化的相互作用。绝不像复印一张图片一样,把原稿塞进复印机,一按键盘就了事。在哪些基本问題没有搞清楚前一天,就声称量子态不可好友克隆。甚至明明知道单量子态和正交态能也能 好友克隆,明明知道激光器时候 光子好友克隆机,却仍然声称量子态不可好友克隆,是非常荒唐的。

  现有的量子信息理论建立在哥本哈根解释基础上,认为测量前一天微观粒子能也能 一起趋于稳定多重状况,用测量导致 波函数崩塌来解释一切。以这种 删改错误的理论为基础,技术开发必然导致 失败。物理学家们耗尽资源和精力,最终都将无功而返。量子通信是一一有3个 典型的例子,声称量子通讯具有绝对的保密性,把人类保密通讯那我重要的事情寄托在这种 删改不靠谱的定理之上,并草率地把量子通讯进行产业化,是对科学和社会不负责任的行为。

  量子计算机则导致 是另外一一有3个 例子,正是考虑到量子态的线性叠加,才有计算加速的导致 。按照量子力学的统计系综解释,任几时刻一一有3个 微观粒子也能也能趋于稳定某个选用的状况,不导致 趋于稳定叠加态,线性叠加时候 本身生活统计平均的表示土办法。按照量子力学的测量理论,任几时刻一一有3个 微观粒子能也能 趋于稳定叠加态,但测量导致 波函数崩塌。时候 叠加态既也能也能输入时候 能输出,量子计算机就导致 是一一有3个 空头理论上的东西,在现实中难以实现。这种 问題之类与量子计算机的消相干问題,但又有不同。从技术上说消相干导致 的,但叠加态的输入和输出是不导致 的。这是量子力学基本原理决定的,对测量输入输出叠加态的技术能力的限制。

  目前物理学家声称导致 做出量子计算机,时候 回会真正的量子叠加态计算机,是值得考虑的。亲们导致 时候 利用微观粒子的一一有3个 分立状况做成的,与传统电子计算机在本质上是一样的计算机。它时候 对传统电子计算机的模拟,而回会真正利用了叠加态,也能进行叠加态并行计算的量子计算机。时候 量子计算机专家导致 还没有认识到这种 点,导致 说这种 人知道这种 点,但不时候说出来罢了。关于这种 问題,作者将另文讨论。

  参考文献

  1. W. K. Wooters, W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature, 1982, 299,1502-1503.

  2. 尹浩,韩阳等,量子通讯原理和技术,电子工业出版社,2013,p.54.

  3. 周世勋,量子力学,复旦大学出版社,1961, p. 337.

  4. 张永德,量子信息物理原理,科学出版社,1506年,p. 187.

  5. 孙昌璞, 量子力学的诠释问題,物理,2017年,46卷,8期,p.481~ 496.